國中數學--等差級數題目

現在小孩國中數學的題目，我大多還可以用看的看出答案，某天晚上去看孩子的作業，填空題目如下：「有一個等差數列共有15項，偶數項的和比奇數項的和少了5，請問此等差數列的總和為多少？」

看了一陣子，看不出訣竅，一個等差數列有兩個未知數，起始數字 x，差為 d，但題目的描述只有一個式子，這樣怎麼解得出來？於是使出我最愛的好朋友：歸納法，當數列只有一項的時候，答案為多少？根據題意，如果只有一項，代表第一項就是5，所以答案就是5，但數列有兩項的時候，我就卡關了。

後來先留個孩子自己思考看看有沒有其他解法，稍晚再去問他想到了沒有？他說解答裡面直接寫 75，沒有附任何的計算。難道真那麼簡單？

所以就拿了紙筆根據題意寫出算式

奇數項的和：x, x+2d, x+4d, x+6d, x+8d, x+10d, x+12d, x+14d

偶數項的和：x+d, x+3d, x+5d, x+7d, x+9d, x+11d, x+13d

等差級數和公式，(數列頭 + 數列尾) * 項數 / 2

((x+d) + (x+13d)) * 7        (x + (x+14d)) * 8

--------------------------  -  ------------------------ = -5

                2                                     2

化簡 (頭項+尾項 都是 (2x+14d)，分數拉出來 7/2 - 8/2 = - 1/2) 跟右邊的 -5 消去附號

(2x+14d) 

-----------  = 5

      2

ok，跟原本想的一樣一個式子無法解出兩個未知數，接下來看看題目的解答公式，頭：x, 尾：x+14d，項數：15

(x+(x+14d)) * 15       (2x+14d)

---------------------   =  -----------    * 15   =  5 * 15 = 75

            2                           2

以上就可以算出來，但因為是填空題，不需要寫計算過程，我又回頭想了歸納法或是用幾何法來想有沒有更快的解題方式。

等差數列的和跟梯形公式一樣，高 則等於項數。

歸納法：

如果此等比數列只有 1 項：代表此數列為 5，才符合題意，答案也就是 5

如果此等比數列只有 2 項：根據題意，只能算出 d = -5，代表有無限多種數列，無法求解，這裡我一開始畫了很多梯形/平行四邊形的情況，後來發現都只是某一種解，無法通用

如果此等比數列只有 3 項： 根據題意：x+d - x - (x-2d) = -5 => x + d = 5，這是一個恆等式，那我就設 x = 4, d = 1，得出數列為 4, 5, 6，總和為 15

之前跟小孩解釋，智力測驗我覺得考的就是規律，越有經驗(心智年齡越高)的人能更快看得出規律，注意看紅字，如果只有這四個數字，然後問你15項，答案是不是就是 5 * 15 = 75。

如果此等比數列只有 4 項：根據題意，只能算出 2d = -5，一樣無限多解

如果此等比數列只有 5 項： 根據題意：(x+d) + (x+3d) - x - (x-2d) - (x+4d) = -5 => x + 2d = 5，這是一個恆等式，那我就設 x = 3, d = 1，得出數列為 3, 4, 5, 6, 7 總和為 25，到這邊已經有3個證據就夠了。所以此歸納法只適用於項數為 奇數 的時候。