國中數學--等差級數題目
現在小孩國中數學的題目，我大多還可以用看的看出答案，某天晚上去看孩子的作業，填空題目如下：「有一個等差數列共有15項，偶數項的和比奇數項的和少了5，請問此等差數列的總和為多少？」 看了一陣子，看不出訣竅，一個等差數列有兩個未知數，起始數字 x，差為 d，但題目的描述只有一個式子，這樣怎麼解得出來？於是使出我最愛的好朋友：歸納法，當數列只有一項的時候，答案為多少？根據題意，如果只有一項，代表第一項就是5，所以答案就是5，但數列有兩項的時候，我就卡關了。 後來先留個孩子自己思考看看有沒有其他解法，稍晚再去問他想到了沒有？他說解答裡面直接寫 75，沒有附任何的計算。難道真那麼簡單？ 所以就拿了紙筆根據題意寫出算式 奇數項的和：x, x+2d, x+4d, x+6d, x+8d, x+10d, x+12d, x+14d 偶數項的和：x+d, x+3d, x+5d, x+7d, x+9d, x+11d, x+13d 等差級數和公式，(數列頭 + 數列尾) * 項數 / 2 ((x+d) + (x+13d)) * 7 (x + (x+14d)) * 8 -------------------------- - ------------------------ = -5 2 2 化簡 (頭項+尾項 都是 (2x+14d)，分數拉出來 7/2 - 8/2 = - 1/2) 跟右邊的 -5 消去附號 (2x+14d) ----------- = 5 2 ok，跟原本想的一樣一個式子無法解出兩個未知數，接下來看看題目的解答公式，頭：x, 尾：x+14d，項數：15 (x+(x+14d)) * 15 (2x+14d) --------------------- = ----------- * 15 = 5 * 15 = 75 2 2 以上就可以算出來，但因為是填空題，不需要寫計算過程，我又回頭想了歸納法或是用幾何法來想有沒有更快的解題方式。 等差數列的和跟梯形公式一樣，高 則等於項數。 歸納法： 如果此等比數列只有 1 項：代表此數列為 5，才符